Famille d'entiers divisibles par 21 - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) et \(N=7n(n+1)(2n+1)\) .

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le reste dans la division euclidienne de \(N\) par \(21\) selon les valeurs de \(n\) .

2. a. Démontrer que \(N\) est divisible par \(3\) .
    b. Conclure.

Solution

1. D'après la calculatrice, voici un tableau présentant les restes \(r\) dans la division euclidienne de \(N\) par \(21\) pour quelques valeurs entières de  \(n\)  :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline r&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

Il semble donc que \(N\) soit divisible par \(21\) (et donc que le reste dans la division euclidienne de \(N\) par \(21\) vaille \(0\) ) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) .

2. a. On remarque que \(N \equiv 7n(n+1)(2n+1) \equiv n(n+1)(2n+1) \ [3]\) car \(7 \equiv 1 \ [3]\) .
On fait un tableau de congruences modulo \(3\) : 

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [3] &0&1&2\\ \hline n+1 \equiv ... \ [3]&1&2&0\\ \hline 2n+1 \equiv ... \ [3]&1&0&2\\ \hline N \equiv ... \ [3]&0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

On en déduit que \(N\) est congru à \(0\) modulo \(3\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , autrement dit \(N\) est divisible par \(3\) .

b. Il est clair que \(N\) est divisible par \(7\) , car \(N=7k\) avec \(k=n(n+1)(2n+1) \in \mathbb{Z}\) . 
Comme \(N\) est divisible par \(3\) et par \(7\) , et comme \(3\) et \(7\) sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(N\) est divisible par \(3 \times 7=21\) .